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Théorème d’Al-Kashi

appelé aussi loi des cosinus

Mis en ligne par Denis Blaizot le vendredi 15 novembre 2013

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Le théorème d’Al-Kashi , en français d’Europe, ou ’’’loi des cosinus’’’, en français du Canada et dans d’autres langues, est un théorème de géométrie du triangle couramment utilisé en trigonométrie. Il généralise le théorème de Pythagore aux triangles non rectangles : il relie le troisième côté d’un triangle aux deux premiers ainsi qu’au cosinus de l’angle formé par ces deux côtés.

Il doit son nom français au mathématicien perse Ghiyath al-Kash qui a vécu entre 1380 et 1429. L’appellation ’’loi des cosinus’’ est apparue plus tard, aussi en Europe.

Soit un triangle ABC, dans lequel on utilise les notations usuelles exposées sur la figure ci-dessus : d’une part α, β et γ pour les angles et, d’autre part, ’’a’’, ’’b’’ et ’’c’’ pour les côtés respectivement opposés à ces angles. Alors, le théorème d’al-Kashi s’énonce de la façon suivante :
c² = a² + b² - 2ab.cos. γ

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