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La quadrature du cercle

R. de Montessus de Ballore, La Nature N° 2901 — 15 mars 1933

Mis en ligne par Denis Blaizot le dimanche 30 août 2015

Avant de parler de ce problème célèbre, je rappellerai, à titre d’introduction, et pour avoir une base comparative, un problème beaucoup plus simple, traité dans les ouvrages élémentaires de géométrie.

Soit proposé de déterminer la médiane AM d’un triangle, étant connus les trois cotés BC, AB, AC du triangle. Nous pouvons nous servir de la formule algébrique ;

 AM = \frac{1}{2} \sqrt{2 (\overline{AB}^2 + \overline{AC}^2)- \overline{BC}^2}.

En extrayant la racine carrée avec 2,3,4,... décimales, nous calculerons la médiane AM avec l’approximation que nous voudrons.

Nous pouvons aussi construire avec un compas le triangle ABC ; ensuite, le compas nous permettra de trouver le milieu M du côté BC ; nous joindrons le point A point M, et nous mesurerons la longueur AM de la médiane avec un décimètre.

Ici, l’approximation sera limitée par l’imperfection des instruments. Si les cotés AB, AC, BC sont de l’ordre du km, si les longueurs du dessin sont de l’ordre du dm, AM, une fois dessiné, sera mesuré tout au plus à un demi-millimètre près, à un demi-centième près ; AM étant, comme AB, AC, BC, de l’ordre du kilomètre, le dessin fera connaître AM à un demi-centième près du kilomètre, à 5 mètres près. Des précautions difficiles à prendre pourraient faire connaître AM avec une approximation un peu plus grande. Le calcul, au contraire, peut faire connaître AB à un millimètre près, à un millième de millimètre près et beaucoup plus, et sans la moindre difficulté, pourvu que les trois cotés du triangle soient aussi connus avec l’approximation demandée pour la médiane.

Nous avons donc deux solutions, l’une algébrique, l’autre géométrique de ce problème.

Il y a une infinité de problèmes du même genre, ayant à la fois une solution algébrique et une solution géométrique.

Mais il y a aussi une infinité de problèmes analogues, qui n’ont pas de solution géométrique ; ils ont seulement une solution algébrique. Ce n’est pas que la solution géométrique, par la règle et le compas ensemble, ou par la règle seule, ou par le compas seul, inconnue des mathématiciens actuels, ne puisse être un jour découverte : non pas. La seule inspection du problème permet de dire, en l’étudiant par l’algèbre, s’il a une solution géométrique, ou s’il n’en a pas.

Au nombre de ces problèmes, que l’algèbre prévoit dépourvus de solution par la règle et le compas, est la quadrature du cercle.

* * *

Voici quel est ce problème ; construire un carré de même aire qu’un cercle donné ; c’est-à-dire, le rayon d’un cercle étant donné, construire par la règle et le compas le côté du carré équivalent.

Le problème suivant est aussi, sous une autre forme, celui de la quadrature du cercle : déterminer par la règle et le compas, un segment de droite ayant même longueur qu’une circonférence dont on connaît le rayon. Ces deux problèmes n’en font qu’un, parce qu’il y a un rapport simple entre la longueur d’une circonférence et le côté du carré ayant même aire que le cercle :

La longueur de la circonférence multipliée par la moitié du rayon égale l’aire du cercle.

Ce qui peut sembler bizarre, c’est que des problèmes analogues, concernant des courbes beaucoup plus compliquées que le cercle, ont des solutions géométriques, par la règle et le compas. Rappelons les lunules d’Hippocrate. Rappelons aussi la quadrature de la parabole, découverte par Archimède. La cycloïde, engendrée par un point d’une circonférence qui roule sur une droite, a pour longueur huit fois le rayon de la circonférence, la longueur étant celle de l’arc compris entre deux sommets consécutifs de la cycloïde, appartenant à la droite sur laquelle elle roule ; un sommet est un des points où le point du cercle considéré touche la droite.

Un coup d’œil sur l’histoire des tentatives faites pour résoudre le problème impossible, comme nous le verrons, de la quadrature du cercle, présente de l’intérêt.

Jusqu’au XVIIIe siècle, les chercheurs appartiennent à deux catégories bien distinctes : les uns sont des mathématiciens, les autres sont des illuminés : ils posent le problème à leur manière, ils parlent un langage qui n’a rien de ce qu’il devrait être.

Tel Nicolas de Cusa, cardinal, l’un des esprits les plus profonds du XVe siècle, si connu par son traité De concordantia catholica et par les missions importantes dont il fut chargé par plusieurs papes, à Constantinople, en Allemagne, en France, en Angleterre. Cusa prétendait résoudre le problème en faisant rouler une circonférence sur une ligne droite ; il mesurait le segment rectiligne compris entre deux contacts Successifs d’un même point de la circonférence avec la droite. Regiomontanus se chargea de montrer au cardinal que son excursion dans un domaine si différent du sien était intempestive ; cela était assurément aisé au savant allemand, le plus illustre astronome que, jusqu’au XVIe siècle, ait produit l’Europe chrétienne, tant par ses ouvrages que par ses lettres,qui nous font connaître l’état des sciences mathématiques au début de la Renaissance.

Vers le milieu du XVIe siècle, Oronce Fine, bien que professeur royal de mathématiques, s’illustra par ses paralogismes non seulement sur la quadrature du cercle, mais aussi sur la trisection de l’angle et la duplication du cube, problèmes qui n’ont pas non plus de solution par la règle et le compas. Pierre Nunez, plus connu sous le nom de Nonius, géomètre portugais, auteur d’ouvrages de valeur destinés aux navigateurs de son pays, d’où sont sorties la notion de Loxodromie et une solution exacte et neuve du problème du crépuscule minimum et des jours où il a lieu ; précurseur de l’invention du vernier, réfuta Fine : on peut croire que cela ne fut pas difficile au professeur de l’université de Coïmbre, Et cependant Oronce Fine professa avec éclat au Collège royal, à Paris, et construisit des instruments de mathématiques et d’astronomie, qui lui valurent une grande notoriété. Ce fut le type du savant indigent qui se retrouve à toutes les époques, à la honte des sociétés civilisées ; il était réduit à vivre de la vente des instruments qui sortaient de ses mains.

Scaliger, le plus grand philosophe peut-être du XVIe siècle, auteur du célèbre traité De emendatione temporum, et de quantité d’autres ouvrages, professeur aux universités de Genève et de Leyde, entreprit « à titre de délassement » le même problème, Estimant peu les géomètres, il voulut leur montrer la supériorité d’un homme tel que lui... mais il se trompa si bien que Viète et Clavius le couvrirent sans peine de ridicule, Sans peine, assurément, Viète n’est-il pas, par ses travaux algébriques, l’un des plus grands mathématiciens : et il était français. C’est lui qui montra le lien entre les équations du 3e degré et les problèmes de la duplication du cube et de la trisection de l’angle, aussi célèbres que celui de la quadrature du cercle, et qui fit bien d’autres découvertes que nous n’avons pas à rappeler ici. L’allemand Clavius, beaucoup moins illustre, bien qu’on l’ait surnommé l’Euclide du XVIe siècle, a cependant à son actif le calendrier grégorien, dont nous faisons usage depuis son époque.

Qu’un philosophe et non des moindres, Hobbes, soit tombé dans le même travers et ait aussi prétendu dans son De ratiociniis et fastu geometrarum que toute la géométrie édifiée jusqu’à lui n’était qu’un tissu de faux raisonnements, que le grand Wallis ait pris la peine de lui montrer son erreur au sujet de la quadrature du cercle, passe encore ; mais que dire d’un astronome, Longomontanus, auteur de cette énormité : π a pur valeur exacte 3,14185 ?

L’ère des chercheurs philosophes ou mathématiciens paraît close au XVIIIe siècle avec le français Lambert ; il démontra que le nombre π, rapport de la circonférence au diamètre, est incommensurable, et démontre ensuite, en 1761, que le carré de π est lui-même incommensurable. Ce n’était pas une preuve de l’impossibilité de la quadrature du cercle, puisque le rapport de la diagonale du carré au côté du carré, est lui-même incommensurable : or, rien de plus facile que construire avec la règle et le compas la diagonale d’un carré connu par son côté. Mais la présomption que le problème de la quadrature du cercle est impossible s’impose alors aux savants et ce ne sont plus que des personnes étrangères à la géométrie qui s’en occupent, poursuivant la tradition d’Olivier de Serres, qui confond l’aire du cercle avec celle de l’hexagone, d’un certain Cluver qui, en 1695, croit résoudre le problème et donne sa mesure en avançant qu’Archimède s’est trompé dans sa quadrature de la parabole, d’un nommé Léger qui prône que 24 et 25 ont même racine carrée : tant de bruit fut fait à ce propos que ces noms sont restés, ainsi que celui de Clerget, qui étendit ses arguties au mouvement de la Terre, impossible selon lui ; Basselin, un professeur, ignorait les travaux d’Archimède sur la parabole.

L’histoire de Mathulon, fabricant d’étoffes à Lyon, montre jusqu’où peut aller l’outrecuidance, et aussi combien ce que nous appelons aujourd’hui le grand public s’intéressait à la quadrature du cercle : autant qu’à la pierre philosophale.

Mathulon déposa vers 1750, à Lyon, une somme de 1000 écus, annonçant aux « géomètres et aux méchaniciens » la découverte de la quadrature du cercle et du mouvement perpétuel, et consentant à ce que cette somme fût remise à qui lui montrerait son erreur. Nicole, académicien, lui prouva que sa quadrature n’était pas soutenable et prétendit que les 1000 écus lui fussent remis, Mathulon de plaider, ce qui aboutit à sa condamnation par les tribunaux. Nicole remit les 1000 écus aux hospices de Lyon.

On voit mal les tribunaux de notre époque connaître de semblables causes : le cas n’est cependant pas unique au XVIIIe siècle.

Une personne « de condition » en effet, dont nous n’avons pu découvrir le nom, annonça encore, vers 1770, la quadrature du cercle et provoqua tout l’univers à déposer les plus fortes sommes, en nantissement de la contradiction attendue. Or sa découverte, puissamment embrouillée, se réduisait en dernière analyse à partager un cercle en quatre parties égales par deux diamètres perpendiculaires, à retourner ces quatre quarts de cercle leurs quatre angles en dehors, pour en faire un carré, et prétendre que ce carré était égal an Cercle. L’auteur basait toute une cosmogonie sur le sujet, il expliquait même le mystère de la Trinité. Aussi bien, trois personnes, dont une femme, se mirent sur les rangs pour réclamer les 10000 livres que le héros de cette histoire avait déposées à l’appui de ses prétentions. Quelque incroyable qu’il soit, l’affaire fut plaidée au Châtelet. Les juges furent plus sensés que le méritait le pédant, car ils furent d’avis que la fortune d’un homme ne devait pas souffrir de ses erreurs, quand elles ne sont pas nuisibles à la société. Le roi ordonna ensuite que les paris fussent annulés.

On pourrait prolonger cet historique au moins jusqu’à l’envoi, il y a quelques lustres, d’une sommation d’huissier à l’Académie des Sciences, visant à l’insertion dans ses comptes rendus, d’une solution du fameux problème : car un article du règlement de la savante assemblée lui interdit, à bon droit, d’examiner cette question. L’auteur, très connu par un genre d’activité bien différent, qui fut tout à son honneur, en fut pour ses frais.

Actuellement, ces chercheurs d’occasion se sont rabattus sur de prétendues démonstrations du dernier théorème de Fermat : l’impossibilité de résoudre en nombres entiers l’équation :

 a^m + h^m = c^m

quand on impose à m la condition d’être plus grand que 2 : on sait que ce théorème est démontré seulement pour un grand nombre de valeurs de m, mais non pour toutes ses valeurs. Nous connaissons un mathématicien, spécialisé dans ce genre de questions où il excelle, qui reçoit sans cesse de soi-disant démonstrations du théorème de Fermat.

Disons pour conclure que le mathématicien Lindemann a démontré, en 1882, bien plus que l’impossibilité de la quadrature du cercle.

* * *

Mais de ce que le problème géométrique est impossible, il ne résulte pas que le problème algébrique le soit, certes non.

De même que la médiane du triangle peut être calculée avec l’approximation qu’on veut, de même le nombre qui peut être calculé avec autant de décimales qu’on veut. Le premier dans cette voie fut Archimède : il montra que π est compris entre : ( 3 + 10/71) et (3 + 10/70). Beaucoup plus tard, au XVIe siècle, Pierre Metius, médecin, père du mathématicien hollandais Adrien Metius, trouva la valeur approchée, si connue, π = 355/113 ; ce nombre diffère de π de moins de un cinq-millionième ; il n’est pas besoin pratiquement d’en connaître une plus grande approximation. Cependant Viète calcula π avec 10 décimales, puis Ludolph van Ceulen avec 34, puis 126 ; disons pour les amateurs de comparaisons, que cela permettrait, observe Montucla, de calculer avec une erreur mille millions de fois moindre que l’« épaisseur d’un cheveu », la circonférence d’un cercle dont le diamètre serait mille millions de fois plus grand que la distance de la Terre au Soleil.

Et si cela ne suffit pas à quelque lecteur de ces lignes, il pourra se reporter à la valeur de π, calculée par Shanks en 1873, avec 707 décimales, reproduite dans la publication bruxelloise « Le Sphinx », numéro de juin 1932.

* * *

Une remarque intéressante peut être faite à ce propos. On a beaucoup discuté, dans le vide, cette question ;

Les chiffres du nombre π sont-ils distribués au hasard ?

La statistique que voici de ces chiffres va nous donner une réponse :

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Exception faite pour le chiffre 7, (8e colonne) dont nous allons reparler, les lois du calcul des probabilités peuvent être regardées comme suivies pour la répartition des chiffres 0, 1, 2, 3, etc., dans les 700 premières décimales du nombre π.

En effet, les totaux les plus probables sont tous égaux à 70 ; la probabilité des totaux extrêmes 78 et 63 est 0,0005 ; ces deux nombres peuvent être regardés comme acceptables. Mais la probabilité du total 51, qui concerne le chiffre 7, est inférieure à 0,000 000 000 001 ; il y a plus ; le déficit permanent, vis-à-vis de 10, nombre le plus probable, des fréquences 8, 4, 7, 4, etc., du chiffre 7, indique, par son allure systématique, malgré la présence du nombre 12, qu’une loi entre en jeu, donc que le hasard n’est pas seul en cause. Quant à aller plus loin, nous ne le pouvons pas actuellement.

R. de Montessus de Ballore, Docteur ès sciences, Lauréat de l’Institut.