Titre original : L’idée de fonction depuis un siècle.

Cet article est la reproduction d’une conférence donnée par l’auteur à Clark University (U. S. A.)

Toute la science mathématique repose sur ridée de fonction, c’est-à-dire de dépendance entre deux ou plusieurs grandeurs, dont l’étude constitue le principal objet de l’Analyse. Il a fallu longtemps avant qu’on se rendit compte de l’étendue extraordinaire de celle notion ; c’est là, d’ailleurs, une circonstance qui a été très heureuse pour les progrès de la Science. Si Newton et Leibnitz avaient pensé que les fonctions continues n’ont pas nécessairement une dérivée, ce qui est le cas général, le Calcul différentiel n’aurait pas pris naissance ; de même, les idées inexactes de Lagrange sur la possibilité des développements en série de Taylor ont rendu d’immenses services. Sans vouloir trop généraliser, on peut dire que l’erreur est quelquefois utile, et que, dans les époques vraiment créatrices, une vérité incomplète ou approchée peut être plus féconde que la même vérité accompagnée des restrictions nécessaires ; l’histoire de la Science confirme plus d’une fois cette remarque, et, pour rappeler encore Newton, il est heureux qu’il ait eu au début de ses recherches pleine confiance dans les lois de Kepler. Les géomètres du siècle dernier, sans remonter plus haut, ne raffinaient pas sur l’idée de fonction ; pour eux, une fonction d’une variable est une fonction qu’on peut représenter par une courbe formant un trait continu ; ce sont ces fonctions qu’Euler appelait functiones continuœ. La question de la représentation d’une Fonction arbitraire, sous une forme analytique dans laquelle interviennent seulement les opérations fondamentales de l’Arithmétique effectuées un nombre fini ou infini de fois, se posa, semble-t-il, pour la première fois à propos du problème des cordes vibrantes. D’Alembert avait donné l’intégrale de l’équation :

$$$ \frac{\partial^2 y}{\partial i^2} = a^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$$$

sous la forme $$$ f(x+at) + \Phi (x-at)$$$. Daniel Bernoulli montra qu’on pouvait satisfaire à l’équation différentielle et aux conditions aux limites par une série trigonométrique, et il affirma que cette série donnait la solution la plus générale. Ce fut l’occasion d’une longue discussion entre Bernoulli, Euler et Lagrange. Pour ces grands géomètres, une fonction arbitraire était toujours la fonction arbitraire susceptible d’être représentée par un trait continu, En 1807, dans un mémoire célèbre, et, plus tard, dans sa Théorie analytique de la Chaleur, Fourier montra l’extrême importance des séries trigonométriques ; il a, le premier, osé affirmer que toute fonction pouvait être représentée entre 0 et 2π par un développement de cette nature, et, ce qui est le point capital, qu’un même développement pouvait, entre ces limites, représenter des fonctions qu’on considérait comme distinctes, c’est-à-dire correspondant graphiquement à des arcs de courbes différentes. Il est très instructif d’étudier, dans la Théorie de la Chaleur de Fourier, les voies diverses que Je célèbre géomètre a suivies pour avoir les coefficients du développement. La détermination de ces coefficients à raide des intégrales classiques ne vient qu’en second lieu ; cette détermination avait d’ailleurs été indiquée auparavant, quoique d’une manière incidente, par Euler. Dans une première méthode, Fourier obtient les coefficients en envisageant une infinité d’équations du premier degré à une infinité d’inconnues : c’était une recherche audacieuse pour l’époque, et nous ne devons pas nous attendre à trouver dans cette étude toute la rigueur que nous exigeons aujourd’hui. Il n’en faut pas moins se souvenir que Fourier eut le premier la hardiesse de résoudre des systèmes d’une infinité d’équations linéaires à une infinité d’inconnues. Il y a d’ailleurs, en Analyse, plus d’une question où se présentent de tels systèmes. C’est le cas quand on veut chercher le développement du quotient de deux séries trigonométriques, et aussi quand, ayant à intégrer une équation différentielle linéaire à coefficients périodiques, on veut y satisfaire par une fonction périodique ou au moyen du produit d’une telle fonction par une exponentielle : ce dernier cas se présente dans plusieurs problèmes de Mécanique céleste et, en particulier, dans les beaux travaux de M. Hill sur le mouvement du périgée de la Lune, M. Poincaré a posé les principes d’une élude rigoureuse des systèmes d’équations en nombre infini, spécialement dans le cas des systèmes homogènes. Il introduit dans cette théorie les déterminants, d’ordre infini, et un fait inattendu ressort de ses recherches, à savoir que des égalités en nombre infini peuvent, dans certains cas, être remplacées par une infinité d’inégalités. Il y a d’ailleurs en Analyse bien d’autres questions ou l’on se trouve en présence d’une infinité d’équations, et il y aura un jour un chapitre intéressant à écrire sur l’intégration d’un nombre infini d’équations différentielles avec une infinité de fonctions inconnues. Mais revenons aux séries trigonométriques, En poursuivant rapidement leur histoire, nous arrivons à la période où Cauchy, Abel et Dirichlet soumettent à une révision sévère les principes fondamentaux de l’Analyse mathématique. Le Mémoire de Dirichlet sur les séries de Fourier est resté un modèle de rigueur ; l’illustre auteur précise les conditions pour que l’on puisse affirmer qu’un développement trigonométrique avec les coefficients de Fourier représente une fonction donnée dans l’intervalle de 0 à 2π, et ces conditions sont restées dans la science sous le nom de conditions de Dirichlet. Elles sont seulement suffisantes, mais on ne peut espérer dans cette théorie trouver, sous une forme pratique, des conditions à la fois nécessaires et suffisantes. Il est certain aujourd’hui, grâce surtout aux travaux de Du Bois-Reymond, qu’une fonction continue n’est pas nécessairement toujours développable en série trigonométrique : la condition suffisante de M. Lipschitz, formulée par l’inégalité $$$ [f(x + h) - f(x)] <kh^a (a>0)$$$, en désignant par k une constante fixe, a un grand caractère de généralité, et il en est de même du théorème de M. Camille Jordan sur la légitimité du développement pour les fonctions à variation bornée.

Le Mémoire de Riemann sur les séries trigonométriques est célèbre dans l’histoire de ces séries ; on peut dire en deux mots, pour le caractériser, qu’il abandonne le point de vue de Dirichlet, et qu’au lieu de chercher des conditions suffisantes, sa principale préoccupation est de trouver des conditions nécessaires. À un autre point de vue encore, le mémoire de Riemann marque une date parce qu’il continue cette révision des principes du Calcul infinitésimal commencée par Abel et Cauchy ; la distinction entre les fonctions intégrables et les fonctions non intégrables y apparaît pour la première fois, et l’on peut dire qu’il résulte des travaux de Riemann qu’il y a des fonctions continues n’ayant pas de dérivées.

On doit à M. G. Cantor la réponse à une question importante : une fonction peut-elle être représentée entre 0 et 2π de plusieurs manières par une série trigonométrique ? En d’autres termes, zéro peut-il être représenté par un développement trigonométrique où les coefficients ne soient pas tous nuls ? Indépendamment du résultat lui-même, le Mémoire de .M. Cantor est digne d’intérêt parce que, dans une question depuis longtemps posée, des notions concernant les ensembles de points viennent jouer un rôle utile. Étant donné un ensemble de points entre 0 et 2π, M. Cantor appelle ensemble dérivé l’ensemble de ses points limites, et l’on peut définir ainsi de proche en proche les dérivées successives d’un ensemble. Si la dérivée nème d’un ensemble se réduit à un nombre limité de points, l’ensemble sera dit de la nème espèce. M. Cantor établit que si, dans l’intervalle (0, 2π), une série trigonométrique est nulle pour toutes les valeurs de x à l’exception de celles qui correspondent aux points d’un ensemble d’espèce n, pour lequel on ne sait rien de la série, tous les coefficients seront nuls.

*I*

J’ai insisté, peut-être un peu longuement, sur les séries trigonométriques. Indépendamment de leur importance dans les applications et particulièrement en Physique mathématique, elles ont joué un rôle considérable dans l’évolution de la notion de fonction ; c’est leur étude qui a appelé l’attention sur des circonstances, qui ne nous étonnent plus aujourd’hui, mais qui paraissaient jadis invraisemblables, comme, par exemple, ce fait que la limite vers laquelle tend une série de fonctions continues peut n’être pas égale à la valeur de la série en ce point, Les précautions à prendre dans la dérivation de séries ont été aussi suggérées par les séries trigonométriques ; on peut faire remonter à cet exemple les nombreuses recherches effectuées depuis Cauchy sur la dérivation et l’intégration des séries, auxquelles M. Osgood ajoutait, il y a quelques années, un important complément dans son Mémoire sur la convergence non uniforme.

Le développement d’une fonction en série trigonométrique est aussi le type le plus simple de développements très généraux qui se présentent dans les applications ; Fourier, ici encore, a été un précurseur. L’étude du refroidissement d’une sphère, en supposant que la température ne dépende que du temps et de la distance au centre, l’a conduit à un développement où, au lieu des lignes trigonométriques des multiples x, 2x, … nx de la variable, figurent les lignes trigonométriques de a₁x, a₂x, …. a_nx, les a désignant les racines en nombre infini d’une certaine équation transcendante, et il a esquissé une théorie de ces sortes de développements. Cette étude a été reprise par Cauchy dans plusieurs Mémoires qui forment une des applications les plus remarquables de ce que le grand analyste appelait le calcul des résidus. Sous des conditions très générales, relatives à l’équation transcendante, Cauchy a démontré en toute rigueur la légitimité des développements pour une fonction satisfaisant d’ailleurs aux conditions de Dirichlet, et ainsi se sont trouvés considérablement généralisés les résultats du Mémoire classique de l’illustre géomètre allemand.

D’autres développements d’un caractère encore plus général se rencontrant en Physique mathématique, et ont fait l’objet des travaux de Poisson, de Sturm et de Liouville et de bien d’autres ; mais ici se présentent, au point de vue de la rigueur complète, des difficultés que l’on n’a réussi à surmonter que dans un petit nombre de cas. Je citerai seulement l’exemple très simple du refroidissement d’un mur indéfini dont les faces extrêmes sont maintenues à la. température zéro ; on suppose d’ailleurs que la chaleur spécifique soit une fonction de l’abscisse x correspondant à chaque tranche, de telle sorte que l’on a, pour la température V, l’équation aux dérivées partielles

$$$ \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} = A(x) \frac{\partial^2 V}{\partial t}$$$

où A(x) est une fonction continue et positive de x dans l’intervalle (a,b) de l’épaisseur du mur. Envisageons l’équation linéaire ordinaire :

$$$ \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} + k A(x) y = 0$$$

et les valeurs positives de k en nombre infini, k₁, k₂, …, k_n, pour lesquelles il existe une intégrale de l’équation précédente s’annulant en a et b. À chaque valeur de k_i correspond une intégrale ,y_i (x) de cette équation (déterminée à une constante près), et le problème qui se présente est de développer une fonction f(x) s’annulant en a et b sous la forme : $$$ f(x)= \sum B_i y_i (x)$$$

La démonstration rigoureuse de ce développement résulte des dernières recherches de M. Stekloff, s’aidant des travaux antérieurs de M. H. Poincaré sur les équations de la Physique mathématique. Il semble bien qu’il soit indispensable pour rentière rigueur de supposer que f(x) a des dérivées des deux premiers ordres ; nous sommés loin d’atteindre ici à la généralité des conditions de Dirichlet pour le développement en série trigonométrique, qui rentre d’ailleurs comme cas particulier (celui où A(x) est une constante) dans le cas précédent.

*II*

L’histoire des développements en séries, que je viens de retracer rapidement, nous donne un remarquable exemple de l’intime solidarité qui unit à certains moments l’Analyse pure et les Mathématiques appliquées. En plus d’une occasion, ce sont celles-ci qui ont donné l’impulsion en posant les problèmes, et c’est un fait assurément remarquable que des questions concernant les cordes vibrantes ou la propagation de la chaleur aient conduit les géomètres à approfondir la notion si complexe de fonction. L’histoire de la science mathématique offrirait d’ailleurs dès le début des exemples analogues : nos facultés d’abstraction ne trouvent primitivement à s’exercer qu’en partant de certains faits concrets, et c’est sans doute en réfléchissant aux procédés empiriques des praticiens égyptiens, leurs prédécesseurs, que les premiers géomètres grecs créèrent la science géométrique. Mais ces vues risqueraient de m’entraîner trop loin, Je tiens seulement à ajouter qu’il ne faudrait pas professer une opinion trop systématique sur cette marche parallèle de la théorie pure et des applications, comme le faisait, avec Laplace, Fourier, Poisson, la brillante École française de Physique mathématique du commencement de ce siècle. Pour eux, l’Analyse pure n’était que l’instrument, et Fourier, en .annonçant il l’Académie des Sciences les travaux de Jacobi, disait que les questions de la Philosophie naturelle doivent être le principal objet des méditations des géomètres : « On doit désirer, ajoutait-il, que les personnes les plus propres à perfectionner la science du calcul dirigent leurs travaux vers ces hautes applications, si nécessaires au progrès de l’intelligence humaine. » Ce désir très légitime ne doit pas être exclusif ; ce serait méconnaître d’abord la valeur philosophique et artistique des Mathématiques ; de plus, des spéculations théoriques sont restées pendant longtemps éloignées de toute application, quand un moment est venu où elles ont pu être utilisées. On n’en peut pas citer d’exemple plus mémorable que le concept des sections coniques élaboré par les géomètres grecs, qui resta inutilisé pendant deux mille ans, jusqu’au jour où Kepler s’en servit dans l’étude de la planète Mars. Les questions s’épuisent pour un temps, et il n’est pas bon que tous les chercheurs marchent dans la même voie. Peu d’années après que Fourier écrivait les lignes que je viens de rappeler, apparaissait Évariste Galois, qui aurait, s’il avait vécu davantage, rétabli l’équilibre en ramenant les recherches vers les régions les plus élevées de la théorie pure, et ce fut un malheur irréparable pour la science française que la mort de Galois, dont le génie allait exercer une action si profonde sur les parties les plus variées des Mathématiques.

Avec cette digression, nous semblons être bien loin de notre promenade à travers l’idée de fonction depuis le commencement de ce siècle. Elle n’était cependant pas inutile, pour montrer qu’un moment devait arriver où les spéculations sur la théorie des fonctions de variables réelles se poursuivraient sans souci immédiat des applications et prendraient de plus en plus un caractère philosophique. Nous avons déjà dit qu’il résultait indirectement des travaux de Riemann qu’une fonction continue n’a pas nécessairement 1 une dérivée, Weierstrass donna le premier exemple d’une fonction continue n’ayant de dérivée pour aucune valeur de la variable, et il fit connaître, au sujet des fonctions continues, une proposition qui nous ramène aux développements en séries : mais ici les termes sont des polynômes. D’après Weierstrass, toute fonction continue dans un intervalle peut être développée en une Série de polynômes qui est absolument et uniformément convergente dans cet intervalle. La démonstration de l’illustre géomètre est très compliquée ; elle prend comme point de départ une intégrale considérée par Fourier dans la Théorie de la Chaleur, qui permet d’obtenir la fonction considérée comme la limite d’une fonction transcendante entière dépendant d’un paramètre, quand celui-ci tend vers zéro, C’est de là que Weierstrass déduit la possibilité de représenter d’une manière approchée par un polynôme toute fonction continue dans un intervalle fini, d’où se tire alors de suite le résultat énoncé. On peut arriver beaucoup plus rapidement au théorème de Weierstrass en partant de l’intégrale classique de Poisson dans la théorie des séries trigonométriques ; elle montre facilement que la fonction, supposée définie dans un intervalle moindre que 2π, peut être représentée, avec telle approximation que l’on voudra, par une série limitée de Fourier, et l’on passe de suite à une représentation approchée par un polynôme ; cette démonstration s’étend à des fonctions continues d’un nombre quelconque de variables. M. Volterra est arrivé aussi très simplement au théorème qui nous occupe en remarquant qu’une fonction continue est représentable avec telle approximation qu’on voudra par une ligne polygonale convenable ; celle-ci conduit à une série de Fourier uniformément convergente, et, en la réduisant a un nombre suffisamment grand, mais limité de termes, on retombe sur le résultat indiqué plus haut. Le théorème de Weierstrass présente un réel intérêt philosophique, en même temps qu’il peut avoir quelque utilité au point de vue du calcul pratique ; un en a aussi quelquefois fait l’usage pour la démonstration de certaines propositions.

Les développements en séries de polynômes spéciaux sont d’un grand intérêt, mais ils ne peuvent s’appliquer qu’à des fonctions satisfaisant à des conditions particulières. Ainsi, dans son Mémoire sur l’approximation des fonctions de très grands nombres, M. Darboux a étudié les développements d’une fonction suivant les polynômes de Jacobi provenant de la série hypergéométrique. Les conditions sont encore celles de Dirichlet ; pareillement aussi, dans le cas où la fonction devient infinie, elle doit rester intégrable. Il y a cependant une différence quand la fonction devient infinie pour les points extrêmes. Dans le cas des polynômes de Legendre, une fonction qui deviendrait infinie d’un ordre égal ou supérieur à 3/4 pour x = ± 1 ne serait pas développable, quoique les coefficients aient un sens.

*III*

Si nous revenons aux : fonctions prises dans toute leur généralité, on reconnaît vite la nécessité d’établir avec un soin extrême certaines propositions que l’on accorde aisément pour les fonctions usuelles. C’est ce qu’avait déjà reconnu Cauchy dans son Analyse algébrique ; les travaux de Hankel, le Mémoire de M. Darboux sur les fonctions discontinues, le beau livre de M. Dini et les études plus récentes des géomètres italiens montrent bien les précautions nécessaires dans ce genre ·de recherches. Ainsi, une fonction de deux variables réelles peut être continue par rapport à x et par rapport à y sans être continue par rapport à l’ensemble des deux variables, comme M. Dini en a indiqué des exemples. Parmi les travaux : les plus récents sur ces questions délicates, je m’arrêterai un instant sur un Mémoire de M. Baire qui renferme de curieux résultats. L’auteur a réussi à trouver la condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction f’(x) d’une variable réelle puisse être représentée par une série simple de polynômes ; l’énoncé suppose certaines notions sur la discontinuité d’une fonction par rapport à un ensemble de points : une fonction peut être ponctuellement ou totalement discontinue par rapport à cet ensemble. La condition obtenue est que la fonction soit ponctuellement discontinue par rapport à tout ensemble parfait. M. Baire se pose aussi une question singulière sur les équations linéaires aux dérivées partielles. Envisageons l’équation :

$$$ (1) \frac{\partial f} {\partial x} + \frac{\partial f} {\partial y} = 0$$$

Si je demandais quelles sont les fonctions satisfaisant à cette équation, on me répondrait sans doute que les fonctions de x - y répondent seules à la question. M. Baire n’en est pas absolument sûr ; il remarque que la théorie du changement de variables suppose lu continuité des dérivées qu’on emploie ; si l’on suppose seulement l’existence des dérivées $$$ \frac{\partial f}{\partial x}$$$ et $$$ \frac{\partial f}{\partial y}$$$ de la fonction cherchée f, on ne peut pas faire le changement de variables classique. Il faut une analyse délicate pour établir que la fonction f, supposée continue par rapport à l’ensemble des variables x et y, et satisfaisant à (1), est une fonction de x - y ; la conclusion reste douteuse si f est seulement continue par l’apport à x et par rapport à y.

Au point de vue géométrique, les recherches générales sur les fonctions ne sont pus non plus sans intérêt ; elles nous apprennent à nous défier de nos conceptions les plus simples. Quoi de plus simple, semble-t-il, qu’une courbe dont les coordonnées x et r sont des fonctions continues d’un paramètre t variant entre a et b ? M. Peano a cependant montré qu’on peut choisir ces deux : fonctions de telle sorte que, quand t varie entre a et b, le point (x, y) puisse prendre une position quelconque dans un rectangle. À certains points (x,y) pourront correspondre, d’ailleurs, dans l’exemple de M. Peano, deux ou quatre valeurs de t. Ce résultat est au premier abord déconcertant ; il dérange nos idées sur les surfaces et sur les courbes. Voici encore un résultat singulier obtenu tout récemment par M. Lebègue ; il y a d’autres surfaces que les surfaces développables qui sont applicables sur un plan, On peut, à l’aide de fonctions continues, obtenir des surfaces correspondant à un plan, de telle sorte que toute ligne rectifiable du plan ait pour correspondante une ligne rectifiable de même longueur de la surface, et la surface n’est cependant pas réglée.

De tels exemples montrent la subtilité des recherches auxquelles doivent se livrer aujourd’hui ceux qui veulent approfondir la notion de j’onction prise dans son extrême généralité. Ces études sont en bien des points intimement liées aux spéculations sur la notion même de nombre. Nous rejoignons ici une École de Philosophie mathématique qui s’est brillamment développée depuis quelque trente ans, École qui se livre à une minutieuse analysé sur la nature du nombre. On ne peut s’empêcher d’être frappé de l’abondance des publications parues dans ces dernières années et se rapportant à cette Mathématique philosophique ; elles sont bien en accord avec les tendances générales de l’époque où nous vivons, et où l’esprit humain applique dans des directions variées une critique de plus en plus pénétrante. Ces spéculations raffinées ont même pénétré dans l’enseignement élémentaire, ce qui est, à mon avis, très regrettable. Mais il ne s’agit pas ici d’enseignement ; je ne recherche pas non plus l’intérêt que ces études présentent pour le philosophe ; il me parait très réel, et on doit souhaiter que de jeunes philosophes s’engagent dans cette direction après s’être initiés sérieusement aux Mathématiques. Je ne veux me placer qu’au point de vue de la Mathématique. De bons esprits contestent que les spéculations dont je parle aient quelque importance pour les Ma thématiques positives, et ils craignent de voir beaucoup de talent dépensé dans des recherches stériles. Je comprends très bien leurs craintes, mais je ne partage pas entièrement leur avis. Il y a lieu sans doute de faire des distinctions. Certaines questions sont d’un intérêt purement philosophique et n’auront jamais vraisemblablement la moindre utilité pour les Mathématiques, comme, par exemple, de savoir si.la priorité appartient au nombre cardinal ou au nombre ordinal, c’est-à-dire si l’idée de nombre proprement dit est antérieure à celle de rang, ou si c’est l’inverse. Mais, dans d’autres cas, il n’en est plus de même : ainsi, il est vraisemblable que la Théorie des ensembles de M. Cantor, que nous avons déjà rencontrée deux fois sur notre chemin, est à la veille de jouer un rôle utile dans des problèmes qui n ’on t pas été posés exprès pour être une application de la théorie. Ne regrettons donc pas cet effort hardi sur ridée de nombre et sur celle de fonction, car la théorie des fonctions de variables réelles est la véritable base de l’Analyse mathématique.

*IV*

Il faut bien, il est vrai, reconnaître que la notion générale de fonction est très vague, et nous ne pouvons obtenir des résultats de quelque étendue qu’en faisant des hypothèses particulières. Qu’est-ce qui a guidé plus ou moins consciemment dans le choix de ces hypothèses ? Il résulte de ce que nous avons dit sur les rapports entre l’Analyse et les applications aux phénomènes naturels, que celles-ci ont plus d’une fois guidé le mathématicien dans son choix. Une hypothèse essentielle a été celle de la continuité. Suivant le vieil adage : Natura non facit saltus, nous avons le sentiment, on pourrait dire la croyance, que, dans la Nature, il n’y a pas de place pour la discontinuité. Il est utile quelquefois de conserver le discontinu dans nos calculs, par exemple quand nous regardons comme nulle la durée du choc en Mécanique rationnelle, ou quand nous réduisons à une surface les couches de passage dans plusieurs questions de Physique ; mais nous savons que, pour si petite qu’elle soit, les chocs ont une certaine durée, et les physiciens nous ont appris à mesurer l’épaisseur des couches ou se produisent dans plusieurs phénomènes des variations très rapides. L’idée de dérivée s’impose déjà moins ; elle répond cependant au sentiment confus de la rapidité plus ou moins grande avec laquelle s’accomplit tel ou tel phénomène. L’hypothèse relative à la possibilité de la dérivation d’une fonction a donc une origine analogue à celle de la continuité. Je ne yeux pas dire qu’au point de vue du nombre l’idée de continuité soit aussi claire au fond qu’elle en a l’air ; mais il ne s’agit ici que de la notion du continu physique, tirée des données brutes des sens.

Dans d’autres cas, on ne voit pas de cause du même ordre dans la particularité imposée à la fonction : il en est ainsi, ce me semble, pour la propriété des fonctions dites analytiques, c’est-à-dire des fonctions qui, dans le voisinage d’une valeur arbitraire de la variable, peuvent être développées en séries de Taylor. Les fonctions étudiées les premières, comme les fonctions rationnelles, l’exponentielle, les lignes trigonométriques, jouissant de cette propriété, l’attention se sera sans doute trouvée appelée sur elle ; et ensuite la facilité avec laquelle celle hypothèse a permis d’aborder certaines questions a fait acquérir aux fonctions analytiques une importance considérable. C’est donc à leur commodité dans nos calculs qu’elles doivent le grand rôle qu’elles jouent.

On ne sait pas, d’ailleurs, pour une fonction définie seulement pour les valeurs réelles de la variable, quelles sont les conditions de légitimité du développement en série de Taylor. Une fonction de x peut avoir des dérivées de tout ordre pour toute valeur de la variable, et n’être cependant pas développable. On doit à M. Borel un résultat remarquable concernant les fonctions d’une variable réelle définie dans un certain intervalle et ayant dans cet intervalle des dérivées de tout ordre. Si l’Intervalle est (-π, +π), la fonction peut être représentée par un développement de la forme :

$$$ \sum_{n= \infty}^{n-0}(A_n x^n + B_n cos{nx} + C_n sin{nx})$$$

Ces diverses remarques m’amènent à dire un mot d’une École de géomètres qui ne veulent rien voir en dehors des fonctions analytiques, et, d’une manière plus générale, de l’importance, peul-être exagérée, qu’a prise dans les travaux modernes la Théorie des fonctions analytiques. C’est mutiler singulièrement l’Analyse que de vouloir se borner à des développements aussi particuliers que les. séries entières, alors que l’on peut former tant de développements d’une autre nature qui ne peuvent jamais être représentés par de telles séries. Sans doute, les fonctions les plus usuelles sont analytiques, et l’on pourrait nous demander de citer des exemples dans la solution desquels interviennent des fonctions non analytiques, tandis que les données sont analytiques, Ils ne sont pas courants ; ce sont les équations aux dérivées partielles qui probablement les fourniront le plus facilement. Le suivant, dû à M. Borel, me parait digne d’être signalé. Envisageons l’équation :

$$$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - a^4 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} =f(x,y)$$$

où a est une irrationnelle convenablement choisie, et f’(x, y) une certaine fonction analytique de x et y de période 2π pour x et y. Pour l’équation de cette forme, citée par M. Borel, il y a une seule solution périodique, et cette solution n’est pas analytique.

Soit a un nombre incommensurable, tel que $$$ \frac{m_i}{n_i}$$$ étant l’une quelconque des réduites du développement de a en fonction continue, on ait :

on forme :

C’est une fonction non analytique. Posons d’autre part :

<math | f= (1) \frac\partial^2 \Phi\partial x^2 - a^4 \frac\partial^2 \Phi\partial y^2 = \Psi (x,y) >

la fonction Ψ sera analytique. Donc, si l’on prend l’équation (1) a priori et qu’on cherche une solution périodique en x et y, il n’y en a qu’une : c’est Φ, qui n’est pas analytique.

C’est encore en se plaçant à un autre point de vue, qu’il parait mauvais .de réduire la théorie des fonctions à la théorie des fonctions analytiques. Il y a de nombreuses questions, où le fait, pour les données, d’être analytiques ne donne aucune facilité pour la solution, et où l’on risque, en portant trop son attention sur cette nature des données, de chercher la solution dans des voies sans issues. Pour le problème du refroidissement de la barre dont je parlais plus haut, qu’importe que les fonctions données A(x) et f( x) soient ou non analytiques ? Ce n’est pas tout : il y a un dernier point sur lequel je tiens à insister. Il peut arriver que la circonstance d’avoir affaire à des fonctions analytiques conduise à une solution ; mais il se peut que celle-ci ne se présente pas sous la forme la plus favorable, forme à laquelle on arrive, au contraire, en faisant abstraction de la nature analytique des données. La théorie des équations différentielles fournirait des exemples à l’appui de cette assertion ; bornons-nous à citer le théorème fondamental du Calcul intégral relatif à l’existence de l’intégrale de l’équation différentielle <math | f= \fracdydx = f(x,y) > Ce sont les démonstrations ne supposant pas que la fonction f soit analytique, qui donnent le plus grand intervalle comme région où l’intégrale est certainement déterminée ; l’analyste, qui suppose analytique la fonction réelle f(x,y) et veut n’envisager que des séries entières, est conduit par son mode de démonstration à un domaine plus restreint.

J’ai simplement eu pour but dans ce qui précède de montrer qu’il ne faut pas restreindre systématiquement la notion de fonction. D’une manière générale, admirons les systèmes très bien ordonnés, mais méfions-nous un peu de leur apparence scolastique, qui risque d’étouffer l’esprit d’invention. Il ne s’agit pas, bien entendu, de nier la grande importance actuelle de la Théorie des fonctions analytiques, mais il ne faut pas oublier qu’elles ne forment qu’une classe très particulière de fonctions et l’on doit souhaiter qu’un jour vienne où les mathématiciens élaboreront des théories de plus en plus compréhensives ; c’est ce qui arrivera peut-être au siècle prochain, si l’idée de fonction, dont je vous ai hi en incomplètement esquissé l’histoire, continue son évolution. Mais, pour le moment, nous sommes encore au XIX^e siècle ; j’aurai prochainement l’occasion de faire, ici même, amende honorable aux. fonctions analytiques, qui depuis trente ans ont été, comme on sait, l’objet de travaux considérables.

*V*

Nous venons de voir les vastes perspectives qu’ouvre l’extension de plus en plus grande de la notion de fonction, Il faudra certainement montrer dans cette voie beaucoup de prudence, et ne pas entreprendre avant l’heure des recherches qui resteraient stériles ; mais il n’est pas douteux qu’un jour viendra où l’Analyse sentira le besoin d’étendre le domaine de ses recherches. L’extension de l’idée de fonction n’est pas la seule qu’aient poursuivie en ce siècle les mathématiciens qui s’intéressent aux principes de la science ; la question des quantités complexes a vivement excité l’intérêt, d’autant plus qu’une certaine obscurité planait sur elle, qu’entraînait le mot un peu mystérieux de quantités imaginaires. Le sujet ne présente plus rien aujourd’hui de mystérieux, Dans un Mémoire publié en 1884, Weierstrass a développé une théorie des nombres complexes. Il suppose que l’on considère des nombres de la forme :

où les x sont des nombres réels ou imaginaires ordinaires. Les e sont de purs symboles. On fait l’hypothèse que la somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres de l’ensemble font eux-mêmes partie de cet ensemble. Les produits p,q > linéaires et homogènes en

ab=ba, (ab).c=a.(bc),

a, b, c étant trois nombres quelconques de l’ensemble. Ces conditions conduisent à certaines relations entre les coefficients des formes linéaires <math | f= E_p,q >. À tout système de formes <math | f= E_p,q > vérifiant ces conditions correspondra un ensemble de nombres complexes. Les nombres complexes que nous venons de définir diffèrent seulement en un point des nombres complexes ordinaires. Quand n est supérieur à deux, il peut exister des nombres différents de zéro dont le produit par certains autres membres est nul. Weierstrass appelle ces nombres des diviseurs de zéro. M. Dedekind a montré qu’en général les calculs avec ces nombres complexes se ramenaient aux calculs de l’algèbre ordinaire ; d’une manière plus précise, si le carré d’un nombre ne peut être nul sans que ce nombre soit nul, on peut aux n unités complexes primitives substituer n autres unités (le déterminant de la substitution n’étant pas nul), de telle sorte que, pour ces nouvelles unités

d’où l’on conclut que les calculs relatifs aux nombres complexes précédents se ramènent à des calculs relatifs aux nombres réels ou complexes ordinaires.

Nous ayons admis que les lois commutative et associative subsistaient dans l’Algèbre précédente. On s’est placé à un point de vue plus général en supposant que, seule, la loi associative subsistait, c’est-à-dire (ab)c=a(bc). On a alors une Algèbre beaucoup plus générale ; celle-ci est complètement déterminée par Je système des expressions linéaires <math | f= E_p,q >. Un exemple célèbre d’un système à quatre unités

avec les relations

<math | f= \begintabular l i^2 = j^2 = k^2 = -1 \ ij = -ji = k \ jk = -kj = i \ ki = -ik = j \endtabular >

Une remarque très intéressante de M. H. Poincaré ramène toute la Théorie des quantités complexes à une question concernant la Théorie des groupes. Elle consiste en ce qu’il chaque système d’unités complexes correspond un groupe continu (au sens de Lie) de substitutions linéaires à n variables, dont les coefficients sont des fonctions linéaires de n paramètres arbitraires, et inversement. Cette idée a été approfondie par M. Scheffers, qui a été ainsi conduit à partager les nombres complexes en deux classes, suivant que le groupe qui leur correspond est intégrable ou non intégrable. A cette dernière classe appartient le groupe correspondant aux quaternions, et ceux-ci sont les représentants les plus simples de cette catégorie de nombres complexes. Le rapprochement en Ire la théorie des groupes de Lie et les nombres complexes fait disparaître le mystère qui semblait planer sur ceux-ci, et la véritable origine des symboles est ainsi bien mise en évidence. On peut se demander si ce symbolisme est susceptible d’accroître la puissance de l’analyse. En France, les géomètres qui s’intéressent à ces calculs sont très peu nombreux ; je sais qu’au contraire en Angleterre et, je crois aussi, en Amérique les quaternions sont très appréciés. Je ne les ai pas assez maniés moi-même pour me rendre compte si leur emploi en Mécanique ou en Physique mathématique simplifie les calculs d’une manière très appréciable ; il y a probablement là surtout une affaire d’habitude. Le point vrai ment intéressant serai t de savoir si ces quantités complexes présenteront un jour quelque intérêt pour l’Analyse générale, comme il arrive pour les imaginaires ordinaires, Les essais tentés jusqu’ici dans celle voie ne paraissent pas avoir été heureux ; mais, maintenant que le lien avec la Théorie des groupes est complètement mis en évidence, il n’est pas impossible que de nouvelles tentatives n’aboutissent à quelque résultat intéressant.

Les idées de nombres réel ou complexe, la notion de fonction sont à la base même de l’Analyse ; il y a encore une autre notion que le travail mathématique de ce siècle a conduit à élargir considérablement. L’idée d’espace forme la matière même de la Géométrie ; elle aussi a été soumise à une critique pénétrante, qui a renouvelé les bases de la Géométrie. Je n’en referai pas l’histoire depuis Gauss, Bolyai et Lobatchevski, histoire très souvent racontée, ni ne prendrai parti dans les querelles que se font encore à ce sujet les philosophes. Je veux dire seulement un mot de l’intérêt qu’ont eu pour les Mathématiques les spéculations sur la nature de l’espace, Dans le mémoire célèbre de Riemann, apparaissent pour la première fois les notions relatives à la courbure de l’espace dans les différentes directions, c’est-à-dire des <math | f= \fracn(n-1)2 > fonctions invariantes caractéristiques d’une multiplicité à n dimensions : une vive impulsion a été ainsi donnée à la Théorie des formes quadratiques de différentielles. Pour ne citer qu’un exemple, j’indiquerai seulement la forme : <math | f= \fracdx^2 + dy^2y^2 > qui donne le cané de l’élément d’arc dans la Géométrie de Lobatchevski ; et il est intéressant de rappeler le rôle qu’elle a joué dans les recherches de M. H. Poincaré sur la formation des groupes fuchsiens. Après Riemann, Helmholtz posa la question sur un autre terrain : son idée fondamentale consiste à porter l’attention sur l’ensemble des mouvements possibles dans l’espace dont on fait l’étude. Le grand physicien traitait ainsi par avance de problèmes se rattachant à la Théorie des groupes. Celle-ci n’était pas encore créée à l’époque où Helmholtz écrivait son mémoire ; il a commis quelques erreurs après tout secondaires, mais il n’en a pas moins la gloire d’avoir regardé une géométrie comme l’étude d’un groupe. Les études d’Helmholtz furent reprises complètement par Lie ; elles lui offraient une magnifique occasion d’appliquer son admirable Théorie des groupes de transformations. Dans ces études, l’espace est il priori regardé comme une multiplicité, et, en prenant le cas de trois dimensions, un point est défini par trois quantités (x, y, z). Un mouvement dans l’espace n’est autre chose qu’une transformation :

valable pour une portion de l’espace. On suppose que tous les mouvements possibles forment un groupe à six paramètres, qu’ils laissent invariable une fonction des coordonnées de deux points quelconques, qu’enfin le mouvement libre soit possible, comme disait Helmholtz, Lie démontre alors que l’espace euclidien et les espaces non euclidiens sont les seuls qui satisfassent à ces conditions, Au point de vue où. s’est placé Lie, l’étude des principes de la Géométrie peut être regardée comme épuisée, mais il se borne à considérer une petite portion de l’espace, Clifford et Klein ont appelé l’attention sur la question de la connexité de l’espace, qui est extrêmement intéressante ; nous ne savons rien sur la connexité de l’espace où nous vivons. On peut aussi chercher il approfondir le postulat de l’espace regardé comme une multiplicité, et subordonner la conception métrique de l’espace à la conception projective avec von Staudt, Cayley et Klein ; mais je dois me contenter de rappeler ces directions diverses.

J’ai seulement voulu montrer dans cet article quelles perspectives ouvre aux chercheurs l’extension de nos idées sur les fonctions, sur le nombre et sur l’espace. Si l’élaboration mathématique est aussi féconde au siècle prochain qu’elle l’a été en ce siècle, l’Analyse différera beaucoup dans cent ans de ce qu’elle est aujourd’hui ; on maniera peut-être couramment les fonctions les plus extraordinaires, et on verra très clair dans des espaces ayant beaucoup de dimensions et des connexités élevées. Pour se représenter l’état de la Mathématique en l’an 2000, il faudrait l’imagination de l’auteur de « Looking Backward » ; il est malheureux que M. Bellamy, dans son roman, ne nous ait pas parlé des Mathématiques à cette époque. Comme l’humanité, s’il faut l’en croire, aura alors beaucoup de loisirs, les Mathématiques seront, sans doute, extrêmement florissantes, et les problèmes qui nous arrêtent aujourd’hui ne seront plus que des jeux d’enfants pour nos successeurs.

Émile Picard, de l’Académie des Sciences, Professeur d’Analyse Supérieure à la Sorbonne.